Triángulo circunceviano y triángulo pedal

El triángulo circunceviano respecto al △ABC de un punto P cualquiera distinto de los vértices, es el formado por los puntos de intersección de las cevianas de P con la circunferencia circunscrita. En la figura el △DEF.

El triángulo pedal de un punto P es el formado por los pies de las perpendiculares trazadas desde P a los lados. En la figura, el △QRS.

Lós partes en que las cevianas de P dividen a los ángulos de ambos triángulos, circumceviano y pedal, son iguales aunque colocadas en posiciones inversas. Marcar y desmarcar las casillas para apreciar mejor las figuras. Por tanto ambos triángulos son semejantes, aunque en general sus lados no son paralelos. Sin embargo, si P se halla en la Cúbica de McCay ambos triángulos son homotéticos. Puntos destacado que se hallan en esta cúbica son el incentro, el circuncentro, el ortocentro y los excentros (centros de las circunferencias exinscritas, tangentes a un lado y las prolongaciones de los otros dos). Agradezco a F. García Capitán su información sobre la cúbica de McCay.

¿Qué es respecto de △DEF el incentro de △ABC?

¿Y qué es respecto de △DEF el ortocentro de △ABC?

¿Y el circuncentro? ¿Qué más se puede decir del triángulo circumceviano del circuncentro?

¿Que ocurre si P esta en los lados del △ABC?

¿Y si está en la circunferencia circunscrita?

Notese que si P es exterior al triángulo, los ángulos que forman las cevianas que resulten exteriores al triángulo con los lados, deben restarse en lugar de sumarse.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 enero 2017. Creado con GeoGebra