Celdilla de panal

Una celdilla de un panal tiene forma de prisma hexagonal regular, pero cuyo fondo remata en tres rombos. Puede obtenerse a partir del prisma, cortando tres tetraedros por los lados de un triángulo equilátero inscrito en la base y pegándolos a ese triángulo. Así el volume no cambia, pero la superficie disminuye, si los planos forman un ángulo adecuado. Aqui se considera el ángulo α que forman estos planos con las aristas laterlaes del prisma. En la fórmula del área lateral mostrada, del prisma apuntado, si se hace α = 90º se obtiene el área lateral del prisma más la de una base. Derivando, es fácil determinar que el mínimo de esta área lateral se obtiene para α = arccos(1/√3) ≈ 54.7356º. Para este ángulo de corte, el ángulo del rombo que limita con dos caras laterales del prisma es justo el doble. Es también el ángulo que forman las caras de un octaedro con un plano diametral que contiene cuatro de sus vértices y aristas. Resulta que el ángulo real de las celdilla es justamente ese, de manera que las abejas los construyen de forma que minimizan la cantidad de cera necesaria para albergar un mismo volumen.

Al obtenerse a partir de prismas hexagonales regulares, pueden adosarse con las bases en un mismo plano sin dejar resquicios, formando una capa de celdillas. Pero con el ángulo α que produce el mínimo, además pueden acoplarse dos de estas capas, enfrentando los lados correspondientes a los vértices, sin dejar igualmente resquicios. La parte sobresaliente de cada celdilla de una de las capas encaja en la oquedad formada entre tres celdillas de la capa opuesta. Se aptovecha así completamente el volumen sin impedir el acceso a cada celdilla.

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El ángulo para el que se produce el mínimo es evidentemente independente de la altura y del lado de la base del prisma.

¿Para que otro valor del ángulo α se obtiene la misma área que para el prisma?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 1 Septiembre 2016, Creado con GeoGebra