Banqueta con tres patas colocadas al azar

En una banqueta circular un carpintero loco coloca tres patas A, B y C al azar cerca de la circunferencia exterior, distribuyéndolos con probabilidad uniforme por todo el perímetro. ¿Cuál es la probabilidad de que la banqueta se mantenga en pie?

Si llamamos x e y a las distancias angulares desde el centro de la banqueta, medidas como fracciones de la longitud de la circunferencia, de la patas B y C respectivamente respecto de la A, con el signo correspondiente, el espacio muestral es un cuadrado de lado 1 centrado en el origen. Se obtienen 1000 puntos distribuidos con probabilidad uniforme en todo el cuadrado, coloreados de rojo si la banqueta se cae y de azul si se mantiene en pie. Moviendo el deslizador n, se resalta cada uno de los puntos, con un círculo verde, y puedes comprobar en el diagrama circular si la banqueta cae o no, segun que el centro este fuera o dentro del triángulo delimitado por las patas.

Pulsando en el botón [Animación], los puntos se van mostrando uno a uno y puedes ver como va cambiando la frecuencia. Cuando acabe la animación, pulsa el botón [Recalcula 10 series de puntos].

Pulsando en el botón [Recalcula todos los puntos] se obtiene una nueva serie completa de 1000 puntos. Hazlo repetidamente y observas las frecuencias obtenidas. En las celdas B1:B10 se registran las diez últimas.

¿Puedes aventurar cual es la probabilidad de que la banqueta se mantenga en pie? Marca la casilla ayuda para obtener una pista o corroborar tu intuición. ¿Puedes demostrar ahora que esa es la probabilidad? Puedes ver la solución marcando la otra casilla.

Pulsa en el botón [Recalcula 10 series de puntos], para repetir el experimento completo 10 veces, obteniendo 10 nuevas medias. ¿Como varía la media de las 10 frecuencias, comparando con la variación de las frecuencias?

Anota en la las columnas C y D 10 medias y desviaciones típicas. Copia las celdas B12 y B13 en las celdas C12 y C13, para obtener la media y la desviación típica de las 10 medias anteriores. ¿Qué puedes decir de sus valores, comparados con las medias y desviaciones típicas que guardaste en C1:C10 y D1:D10?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 4 mayo 2018. Creado con GeoGebra