Teorema de Bottema

Si sobre dos lados AC y BC y de un triángulo se levantan sendos cuadrados, la posición del punto medio M de los vértices más alejados es independiente del punto C. Además, el triángulo ABM es isósceles y rectángulo en M.

Los cuadrados pueden estar construidos, los dos, hacia el interior o el exterior del triángulo. Desplazar el punto C por debajo del lado AB para verlo.

Para la demostración con complejos, se designa al complejo correspondiente a cada punto, con un origen cualquiera, con la misma letra que el punto pero minúscula, y se tiene en cuenta que al multiplicar un complejo por i, gira 90º en sentido positivo sin cambiar su módulo no cambia.

La demostración geométrica se basa en el Teorema de Tales y la semejanza de triángulos (debe completarse).

Se presta al siguiente planteamiento:

Dos piratas deciden enterrar un tesoro en una isla en la que hay dos rocas prominentes, A y B, y un árbol, C. Para determinar el lugar exacto, de manera que posteriormente pudieran recuperalo, deciden caminar cada uno desde el árbol hacia una de las rocas, girar 90º hacia el otro y volver a caminar la misma distancia y marcan su posición. Entierran el tesoro en el punto medio M entre los puntos marcados, que luego eliminan. Pero cuando vuelven a buscar el tesoro, el árbol ha desaparecido por completo. ¿Podrán localizar la posición del tesoro?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 Agosto 2017. Creado con GeoGebra