Biyección del intervalo [a, b] en ℝ (ℝ ampliado)

Biyección del intervalo (a, b) en ℝ

El intervalo azul (a, b) tienen la misma longitud que la poligonal verde AMB, por lo que se puede establecer fácilmente una correspondencia uno a uno entre sus puntos como X y X'.

La semirrecta CX' corta nuevamente al eje Ox en X'', estableciendo una correspondencia igualmente uno a uno entre la poligonal AMB y todo el eje Ox. Por tanto, el segmento (a, b), la poligonal, sin sus extremos A y B, y todo el eje Ox tienen el mismo cardinal y puede establecerse una correspondencia biunívoca entre sus puntos. Lo mis mo es extensivo a cualquier intervalo. Por tanto, todos los intervalos, con longitud mayor que cero, tienen el mismo cardinal que el del conjunto ℝ de todos los números reales, el llamado cardinal del continuo.

Biyección de [a, b] en ℝ

Si se considera el intervalo cerado [a, b], en la poligonal también deben incluirse sus extremos A y B y debemos añadir dos elementos a la recta para mantener la correspondencia uno a uno, ya que en estos casos la semirrecta es paralela al eje Ox y no lo corta. Son los elementos -∞ y +∞, que compltan con ℝ la recta real ampliada ℝ.

Puede pararse la animación y desplazar a mano el punto X en el intervalo [a, b], así como cambiar los extremos de este intervalo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 10 Abril 2017. Creado con GeoGebra