Área barrida por segmento

"Sea el cuadrado ABCD de lado a, con AB y DA lados consecutivos. Se ubica en el lado AB un punto 'móvil' P y luego el punto Q en el lado AD tal que QA+AP = a. Si se desplaza el punto P desde A hasta B, el punto Q se moverá en consecuencia. El segmento PQ, entonces, 'barrerá' una cierta región del cuadrado. Determine la razón entre el área del cuadrado y el área de la región 'barrida' por este segmento PQ".

La envolvente del segmento PQ es una parábola tangente al lado AB en B y al lado DA en D. El área del segmento parabólico comprendido delimitado por una cuerda es igual a ⅔ del área del triángulo formado por la cuerda y las tangentes a la parábola en los extremos (Arquímedes). Por tanto, el área limitada por las tangentes y la parábola es ⅓ de la de dicho triángulo y ⅙ de la del cuadrado.

Al ser perpendiculares las tangentes en B y D, el punto A en que se cortan está en la directriz y por simetría la recta AC es el eje, y como la cuerda BD debe pasar por el foco, este es el centro del cuadrado.

Pueden desplazarse los puntos A y B.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 julio 2016. Creado con GeoGebra