Área de un paralelogramo determinado por dos vectrores (Determinante de dos vectores)

Mueve el deslizador t para ver como puede calcularse el área en función de las componentes de los vectores
u = (a, b) y v = (c, d).

Nota: Una cadena de mayúsculas entre paréntesis denota el área del polígono de los puntos correspondientes. Por ejemplo, (ABCD) es el área del paralelogramo de vértices A, B, C y D.

Para que la figura se entienda bien, los puntos B y D deben estar por encima y a la derecha del A, y el D por encima y a la izquierda del B, aunque el cálculo es correcto en cualquier caso.

El área del triángulo determinado por dos vectores, será entonces justamente la mitad. Una consecuencia interesante es que el área de cualquier paralelogramo cuyos vértices tengan coordenadas enteras es entera, y la de cualquier triángulo, semientera. Esto es extensible a cualquier polígono cuyos vértices tengan coordenadas enteras: como puede descomponerse en un número finito de triángulos con sus mismos vértices, su área será entera o semientera.

Si las coordenadas de los vértices no son enteras, pero son racionales, aún tenemos asegurado que el área del polígono será un número racional.

El determinante de dos vectores es entonces igual al área, con signo, del paralelogramo que definen. El signo es el del ángulo menor que 180º que va del primer vector al segundo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 15 febrero 2014. Creado con GeoGebra