Punto de Fermat - Demostración

Si en un triángulo todos los ángulos son menores que 120º, el punto que minimiza la suma de distancias a sus vértices es el punto de Fermat del triángulo. Este punto es la intersección de los segmentos que unen cada vértice con el otro vértice de un triángulo equilátero construido externamente sobre el lado opuesto. Estos tres segmentos se cortan entre si formando ángulos de 120º.

El teorema de Ptolomeo aplicado al cuadrilátero PBA'C nos asegura que:
y·a + z·a ≥ w·a ⇒ y + z ≥ w
dándose la igualdad cunado P esta en la circunferencia circunscrita al triángulo CBA'. Combinado con la desigualdad triángular en el triángulo APA', vemos que el mínimo de la suma es igual a la longitud del segmento AA' y se produce únicamente cuando P está en la intersección del segmento y la circunferencia.
Como el mínimo es único, se obtiene el mismo punto repitiendo la construcción respecto de cualquier otro lado. Por otra parte, cuando P coincide con F él ángulo CPB es el suplementario del CA'B, por lo que es de 120º. El segmento d está entonces sobre la bisectriz del ángulo CPB, puesto que pasa por el punto medio del arco que abarca dicho ángulo. Los tre segmentos {x, y, z} forman entonces ángulos de 120º y |AA'| = |BB'| = |CC'| = x + y + z.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 abril 2016. Creado con GeoGebra