APICS 2011 Cuadriláteros

Dado un cuadrilátero convexo ABCD:

a) Mostrar que siempre existen puntos W, X, Y, Z tales que Z es el punto medio de AW, W es el punto medio de BX, X es el punto medio de CY, e Y es el punto medio de DZ

b) Mostrar que Área(ABW) + Área(CDY) = Área(BCX) + Área(DAZ)

Problema 4, competición APICS 2011

Utilizando vectores de posición es inmediato. Llamando con la misma letra, pero minúscula, al vector que corresponde a cada punto, tenemos un sistema lineal de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, compatible y determinado pues su determinante vale 15, cuya resolución por el método de Cramer resulta muy adecuada.

Marcar la casilla 'Ver razón de áreas' y luego marcar y desmarcar 'Cambiar central' para ver en que proporción se reparte el área del cuadrilátero. Al triángular por completo los ocho puntos aparecen triángulos con solo cuatro áreas distintas: p, q, r y s, debido a que tiene la misma base y altura dada la construciión de los puntos W, X, Y y Z.

La suma de las áreas de cada par de triángulos opuestos es ⅖ de la del cuadrilátero de partida, y como consecuencia, la del cuadrilátero central es ⅕.

Y el resultado se mantiene aunque ABCD no sea convexo, con tal de que WXYZ esté totalmente en su interior. Si no está totalmente en el interior, con una interpretación adecuada de las áreas también se cumple.

Discutido en es.ciencia.matematicas

Ignacio Larrosa Cañestro, 4 abril 2017. Creado con GeoGebra