6 incírculos en triángulo equilátero

En un triángulo equilátero se une un punto cualquiera de su interior con los tres vértices y con sus tres proyecciones sobre los lados, formándose 6 triángulos rectángulos T₁, .., T₆. Los catetos que coincideen con los lados del triángulo equilatero l₁, .., l₆, los radiós de sus circunferencias inscritas r₁, .., r₆ y sus áreas respectivamente, suman lo mismo cuando se suman alternadamente.

La suma de los tres catetos comunes de estos triángulos a₁+a₂+a₃ = √3/2, la altura del triángulo, por el Teorema de Viviani.

Para la igualdad de las sumas de las áreas, no hay mas que calcular, por ejemplo, la de los triángulos azules:

T₂ = ½a₁l₂ = ½a₁(2a₂+a₁)/√3=½(2a₁a₂+a₁²)/√3
T₄ = ½(2a₂a₃+a₂²)/√3
T₆ = ½(2a₃a₁+a₃²)/√3
T₂+T₄+T₆=½(a₁+a₂+a₃)²/√3=√3/8

que es la mitad del área del triángulo equilátero, cuyo lado se ha tomado arbitrariamente igual a 1.

Puede desplazarse el punto dentro del triángulo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 agosto 2023. Creado con GeoGebra