4 circunferencias concurrentes de igual radio

Si cuatro circunferencias de igual radio r pasan por un mismo punto, el cuadrilátero convexo determinado por las rectas tangentes a cada par contiguo es inscrito.

Para verlo no hay más que darse cuenta que sus centros forman un cuadrilátero inscrito, pues están a la misma distancia r del punto común. Por tanto sus ángulos opuestos son suplementarios. Pero los lados del cuadrilátero de tangentes son paralelos a los del cuadrilátero de centros, a una distancia r, y sus ángulos son iguales, por lo que los opuestos son suplementarios y es inscrito.

Marcar la casilla Dem para ver los ángulos. Con el deslizador se pueden mover los centros de las circunferencias.

El contrario también es cierto: para un cuadrilátero inscrito siempre se pueden obtener cuatro círculos de igual radio, cada uno tangente a un par de lados consecutivos, y que pasen por un mismo punto.

No hay más que trazar círculos tangentes a cada par de lados con centros en rectas paralelas a los lados a una distancia creciente. Los centros de estos círculos forman un cuadrilátero circunscrito. A medida que aumenta la distancia de los centros a los lados, disminuye el radio del círculo de centros, hasta que en algún momento coinciden.

Pulsa el botón Inicio en el applet siguiente para ver el proceso.



Puede ocurrir, dependiendo de la forma del cuadrilátero inicial, que el resultado sea un cuadrilátero cruzado y que los círculos, aunque tangentes a dos lados, corten a a los otros, quedando parcialmente fuera del cuadrilátero de centros.

Ignacio Larrosa Cañestro (grupo XeoDin), 27 abril 2021. Creado con GeoGebra